Matemática básica Ejemplos

$\log (c + 1) + \log (c - 1) = 3$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((c + 1) (c - 1)) = 3$

Paso 1.2

Expande $(c + 1) (c - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (c (c - 1) + 1 (c - 1)) = 3$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (c \cdot c + c \cdot - 1 + 1 (c - 1)) = 3$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (c \cdot c + c \cdot - 1 + 1 c + 1 \cdot - 1) = 3$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $c$ por $c$ .

$\log (c^{2} + c \cdot - 1 + 1 c + 1 \cdot - 1) = 3$

Paso 1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $c$ .

$\log (c^{2} - 1 \cdot c + 1 c + 1 \cdot - 1) = 3$

Paso 1.3.1.3

Reescribe $- 1 c$ como $- c$ .

$\log (c^{2} - c + 1 c + 1 \cdot - 1) = 3$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $c$ por $1$ .

$\log (c^{2} - c + c + 1 \cdot - 1) = 3$

Paso 1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\log (c^{2} - c + c - 1) = 3$

Paso 1.3.2

Suma $- c$ y $c$ .

$\log (c^{2} + 0 - 1) = 3$

Paso 1.3.3

Suma $c^{2}$ y $0$ .

$\log (c^{2} - 1) = 3$

Paso 2

Reescribe $\log (c^{2} - 1) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{3} = c^{2} - 1$

Paso 3

Resuelve $c$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $c^{2} - 1 = 10^{3}$ .

$c^{2} - 1 = 10^{3}$

Paso 3.2

Eleva $10$ a la potencia de $3$ .

$c^{2} - 1 = 1000$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que no contengan $c$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$c^{2} = 1000 + 1$

Paso 3.3.2

Suma $1000$ y $1$ .

$c^{2} = 1001$

Paso 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$c = \pm \sqrt{1001}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$c = \sqrt{1001}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$c = - \sqrt{1001}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$c = \sqrt{1001}, - \sqrt{1001}$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (c + 1) + \log (c - 1) = 3$ sea verdadera.

$c = \sqrt{1001}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$c = \sqrt{1001}$

Forma decimal:

$c = 31.63858403 \dots$